Kwa Nini Tatu

Mchemraba unaojua namba moja tu

3927 ni 2048 iliyojengwa upya katika vipimo vitatu na katika hesabu tofauti. Ubao ni mchemraba wa 3×3×3, visanduku ishirini na saba, na unausukuma mchemraba mzima kuelekea upande wowote kati ya sita. Vigae vitatu vya thamani sawa vinapogongana, havizidishwi mara mbili; vinazidishwa mara tatu. Tatu inakuwa tisa, tisa inakuwa ishirini na saba, na kuendelea: 81, 243, 729. Jina lenyewe linahesabu vigae vitatu vya kwanza, 3·9·27, na kila kitu katika usanifu wake ni tatu kuanzia juu hadi chini: tatu kwa kila mhimili, tatu kwa kila muungano, tatu kama kigezo cha ukuaji. ⁴

Babu yake ni wa kitarakimu-mbili kwa ukaidi. 2048 ya asili hushughulika na vipeo vya mbili, 2, 4, 8, 16…, na huunganisha vigae viwili viwili. Mbili ni namba ya kurusha sarafu, ya transista, ya biti. Hivyo swali la kawaida ambalo mchezaji mdadisi huuliza ni kama kubadilisha mbili kwa tatu ni upya tu, au kama tatu ilikuwa ikificha faida halisi muda wote. Inabainika kwamba hisabati ina maoni, na maoni hayo ni thabiti kwa kushangaza.

Gharama ya kuhesabu

Fikiria lazima ujenge mashine inayohifadhi namba. Kila nafasi ya tarakimu inakugharimu kitu, gurudumu, waya, bomba la elektroni, na gharama hiyo hupanda pamoja na msingi, kwa sababu tarakimu ya msingi b inahitaji hali b zinazotofautishika. Lakini msingi mkubwa zaidi pia unamaanisha unahitaji tarakimu chache zaidi kufikia namba yoyote ile. Kuna mvutano hapa, na una jina: uchumi wa msingi (radix economy).

Kirasmi, uchumi wa kuwakilisha namba N katika msingi b ni msingi huo ukizidishwa na idadi ya tarakimu, E(b,N) = b ⌊log_b N + 1⌋. ¹ Msingi mkubwa unakununulia namba fupi lakini tarakimu ghali; msingi mdogo ni rahisi kwa kila tarakimu lakini hutanuka. Mahali fulani kati ya ncha hizo mbili kuna sehemu mwafaka, na si pale ambapo teknolojia yetu nyingi ilitua.

Msingi bora kabisa ni namba isiyo na uwiano

Kwa N kubwa, uchumi huo hutenda kama (b ÷ ln b) · ln N, hivyo ufanisi wa msingi unategemea kabisa kigezo b ÷ ln b. Kipunguze hadi kiwango cha chini kwa kalkulasi kidogo na jibu ni kamili na la ajabu: msingi wenye uchumi bora kuliko yote ni e, takriban 2.71828. ¹ Bila shaka, huwezi kujenga kompyuta yenye hali 2.718 kwa kila tarakimu. Lakini unaweza kuuliza ni namba kamili ipi iliyo karibu zaidi na kipimo hicho bora, na mshindi, akiwashinda mbili na kumi, ni tatu.

Tofauti hii si ya kinadharia tu. Msingi wa tatu unatua ndani ya nusu asilimia ya kiwango bora cha kinadharia, huku msingi wa mbili ukilipa nyongeza ya asilimia sita na msingi wa kumi nyongeza inayoponda ya asilimia sitini. Njia halisi ya kuhisi hili: kuandika kila namba kuanzia 0 hadi 999,999, msingi wa mbili unahitaji tarakimu 20, msingi wa kumi unahitaji 6, lakini msingi wa tatu unahitaji 13 tu, na 13×3 ni jumla ndogo kuliko 20×2. ¹ Tatu kwa kweli hubana uhesabuji zaidi ndani ya muundo mdogo zaidi.

Maumbile yaliulizwa kutaja njia yenye ufanisi zaidi ya kuhesabu, na yakajibu kwa namba isiyo na uwiano. Namba kamili iliyo karibu zaidi na jibu hilo ni tatu.

Mashine iliyoliamini hili

Hili si udadisi wa vitabu vya kiada tu. Mwaka 1958, katika Chuo Kikuu cha Jimbo la Moscow, timu iliyoongozwa na Nikolay Brusentsov na mwanahisabati Sergei Sobolev ilijenga Setun, kompyuta ya msingi wa tatu maarufu zaidi kuwahi kutengenezwa. ³ Wakati Magharibi ikijifunga kwenye biti, Setun ilihesabu kwa trits (tarakimu za msingi wa tatu), na ilitumia mpango maridadi hasa: msingi wa tatu uliosawazishwa (balanced ternary), ambao thamani zake tatu za tarakimu si 0, 1, 2 bali −1, 0, +1. ²

Ulinganifu huo unalipa mara moja. Namba hubeba alama yake yenyewe ya chanya au hasi, bila biti tofauti ya alama, bila mizunguko ya two's-complement, na ili kugeuza thamani yoyote kuwa hasi unageuza tu kila tarakimu. Kukadiria na kukata tarakimu kunakuwa operesheni moja. Donald Knuth aliuita “pengine mfumo wa namba maridadi kuliko yote.” ² Brusentsov, akikosa transista, alipata hali tatu thabiti kutoka kwa jozi za viini vya ferrite; takriban Setun hamsini zilijengwa, nyingi zikipelekwa kufundishia hisabati katika vyuo vikuu vya Kisovieti. ³ Mashine hiyo ilifanya kazi, ilikuwa nafuu, na kimyakimya ilikuwa mbele ya jirani zake.

Je, tatu ndio mchezo maridadi zaidi?

Hapa ndipo mwandishi makini lazima ajizuie. Uchumi wa msingi ni dai kuhusu kuhifadhi na kuchakata namba chini ya dhana maalum za gharama, na hata wanahisabati wanabainisha kwamba dhana hizo ni za kukadiria tu; hesabu kamili zaidi mara nyingi huuhalalisha upya msingi wa mbili, ndiyo sababu dunia inaendeshwa nao. ¹ Fumbo la kuunganisha si hifadhi ya kumbukumbu; hakuna anayepunguza idadi ya mabomba ya elektroni wakati wa mapumziko ya kahawa. Hivyo 3927 si “yenye ufanisi zaidi” kwa maana yoyote ya kihandisi yenye uzito, na ingekuwa udanganyifu kusema hivyo.

Na bado. Mchezo unarithi kitu cha kweli. Ukuaji kwa kuzidisha mara tatu hufikia namba kubwa kwa hatua chache zaidi zenye matokeo makubwa zaidi; kila muungano hufanya kazi zaidi, na mchemraba wa 3×3×3 ndio ubao mdogo kabisa unaoruhusu muungano wa vitatu kupumua katika kila upande. ⁴ Usanifu haukujikwaa kwenye tatu kwa bahati; ulitua kwenye namba kamili ambayo hisabati ya kuhesabu imeipendelea kimyakimya tangu alfajiri ya kompyuta za kielektroniki, ile ambayo wahandisi wa Setun waliichagua kwa makusudi. Mbili ni namba tuliyoiangukia kwa mazoea. Tatu ni namba ambayo tungeichagua kama ufanisi, na si kurusha sarafu, ungekuwa na neno la mwisho. Kwamba vigae vinatokea kutamka 3, 9, 27 ni utani mdogo ambao ulimwengu ulikuwa tayari ukiusimulia.