Michezo miwili ya kuunganisha, swali moja: je, mmojawapo unaweza kuchezwa bila kosa lolote? Jibu linapita kwenye kona ya ubao, mpinzani ambaye hafiki kamwe, na namba yenye urefu wa vipeo kumi na saba.
Imeandikwa na kuhaririwa kwa Kiingereza. Toleo hili la Kiswahili limetayarishwa kwa tafsiri ya mashine; pale usahihi unapohitajika, asili ya Kiingereza ndiyo yenye mamlaka. Soma asili kwa Kiingereza →
Tuanze na mchezo ambao kila mtu anaujua. 2048, pande nne, gridi ya 4×4, vigae vinavyojizidisha mara mbili vinapogusana, kwa usahihi kabisa bado haujatatuliwa. Hakuna aliyeandika algoriti inayoucheza kikamilifu. Tulicho nacho ni makadirio imara sana. Utafutaji wa expectimax, unaochungulia takriban hatua nane mbele na kupima kila ubao kwa kanuni chache za kukisia zilizorekebishwa kwa mkono, yaani visanduku vilivyo wazi, vigae vikubwa vilivyobanwa ukingoni, na ulaini, hufikia kigae cha 32768 katika zaidi ya theluthi moja ya michezo yake, 1 na injini imara zaidi iliyo wazi kwa umma hufikia kigae cha 65536 katika asilimia chache ya michezo. 2 Ukiufanya wa jumla kwa ubao wa m×n, hata kuamua tu kama kigae lengwa kinafikika ni NP-hard. 3 Imara si sawa na kutatuliwa.
Kigae kimoja kinaweza kupanda juu kiasi gani? Kwenye visanduku kumi na sita jibu ni kipande kidogo na maridadi cha kuhesabu. Panga ubao kama ngazi inayoshuka: 65536, 32768, 16384, na kuendelea chini hadi 2 moja ya pekee. Kila kigae kiko chini ya jirani yake kwa kipeo kimoja hasa cha mbili, hivyo vipeo kumi na sita tofauti, 21 hadi 216, hujaza ubao kikamilifu, na 65536 = 216 hukaa kileleni: kipeo kimoja kwa kila kisanduku. Hiyo ndiyo dari ikiwa mchezo utakupa 2 pekee. Lakini 2048 huzalisha 4 mara moja katika kila mara kumi, na 4 moja iliyokuja wakati mwafaka huingiza kipeo cha kumi na saba kwa siri, na kupandisha kiwango cha juu halisi hadi 131072 = 217, thamani ya vipeo vya vigae kumi na saba vilivyobanwa ndani ya miraba kumi na sita. 4 Hakuna binadamu aliyewahi kukijenga; AI chache zimekigusa kwa mbali.
Kwa nini mbao hizi huzawadia kuweka kigae chako kikubwa zaidi kwenye kona? Kigae kilicho katikati kinaweza kusukumwa pande nne, na kila mara kinatenganishwa na vigae kinavyotaka kuungana navyo. Kigae cha kona kinagusa kuta mbili; misukumo kuelekea kuta ambazo tayari kimeziegemea haiwezi kukisogeza, na mradi unaepuka kusukuma kwenda mbali nazo, kinakaa tuli huku kila kitu kikijipanga kukizunguka. Unganisha vilivyobaki kuwa nyoka anayeshuka kwa mpangilio mmoja, mkubwa zaidi kwenye kona, akijikunja huku na huko kwa mpangilio wa kushuka, na mguso mmoja unaweza kuanzisha mfululizo wa miunganiko. 1 Hii ndiyo kanuni ya kukisia inayotawala uchezaji wa kawaida wa binadamu, na karibu ndiyo hasa kile ambacho AI huigundua upya unapoziacha zirekebishe uzito wake zenyewe.
Mchezo wa kuunganisha wenye vigae vinavyozaliwa kwa nasibu hauna mpinzani, una hali ya hewa tu. “Kuutatua” ni kuishinda dadu kwa wastani, si kulishinda akili.
Sasa inamisha ubao kuingia vipimo vitatu. 3927 ni binamu wa kimchemraba wa 2048: kimiani cha 3×3×3 chenye visanduku 27, pande sita za kusukuma badala ya nne, na vigae vinavyoungana vitatu vitatu, 3 hadi 9 hadi 27 hadi 81, msingi wa tatu pale ambapo 2048 ni msingi wa mbili. 5 Je, kurundika kwenye kona kunastahimili mwelekeo wa ziada? Mchemraba una kona nane, na kisanduku cha kona sasa kinagusa nyuso tatu badala ya mbili; kinapaswa kuwa thabiti zaidi, kikibanwa na kuta tatu kwa wakati mmoja, ingawa pande sita zinaupa ubao njia zaidi za kulegeza muundo wako. Nyoka anakuwa njia iliyokunjwa inayopita katika tabaka zote tatu. Kwa kadiri ninavyoweza kugundua, hakuna aliyechunguza kama mlinganisho huu unashikilia kweli; huu ni ufafanuzi wa kimantiki, si kipimo.
Na dari je? Kanuni ya kipeo kimoja kwa kila kisanduku ingependekeza 327 ≈ trilioni 7.6 kama kikomo cha juu kilicholegea. Lakini mlinganisho huu unachanika vibaya. Kipeo cha ziada cha 2048 kilitoka kwa 4 ya bahati; 3927 huzalisha tu kigae kidogo kabisa, 3 tupu, hivyo hakuna bonasi. Zaidi ya hayo, muungano wa vitatu unahitaji vigae vitatu vilivyopangwa kwenye mstari mmoja, na kila safu, safu wima na nguzo kwenye mchemraba wa 3×3×3 ina urefu wa visanduku vitatu hasa, hivyo kila muungano humaliza mstari mzima. Kizuizi hicho kinauma zaidi sana kuliko chochote katika mchezo bapa na karibu hakika kinashusha kiwango cha juu halisi chini sana ya 327. Namba hiyo halisi ni ipi, sijaiona ikiwa imekokotolewa popote. (Ufafanuzi wa kimantiki ulioandikwa wazi kuwa hivyo; mbinu zilizoelezwa hapo juu zimepimwa kutoka kwenye nyaraka za usanifu wa mchezo.)
Huu ndio ujanja unaofanya “uchezaji kamilifu” uwe mgumu kuushika. Mchezo wa kuunganisha wenye vigae vinavyozaliwa kwa nasibu ni mchezo wa kistokasti wa mchezaji mmoja, mchezo wa peke yako dhidi ya dadu, si pambano la wawili. Hakuna kinachochagua kigae kibaya zaidi ili kukuangamiza; kuna RNG (jenereta ya namba nasibu) tu, isiyojali. Hivyo dhana sahihi ya uchezaji bora ni expectimax: kuongeza hadi kiwango cha juu matokeo yanayotarajiwa juu ya mgawanyo wa vigae vinavyozaliwa. Kwa msisitizo, si minimax: minimax hudhania kuna adui, na ukimruhusu kweli mmoja aweke kila kigae (“evil 2048”, yaani 2048 ya kiovu), mchezo unakuwa kitu katili zaidi ambacho unaweza kulazimishwa kukipoteza. Kwa kuwa dadu kimsingi zinaweza kutoa mfuatano wowote, mkakati unaohakikisha kigae fulani huenda usiwepo kabisa. Hivyo jibu la kweli kwa swali “je, kuna mkakati kamilifu?” ni kwamba kwa mchezo wa kistokasti kilicho bora zaidi unachoweza hata kukifafanua ni mkakati bora kwa wastani, na kuukokotoa kwa usahihi hakuwezekani kwa 2048 6 na bado ni swali lililo wazi kabisa kwa 3927.