Mpambano wa nafasi ya hali kati ya gridi bapa ya mbili-mbili na mchemraba uliojengwa kwa tatu-tatu pekee.
Imeandikwa na kuhaririwa kwa Kiingereza. Toleo hili la Kiswahili limetayarishwa kwa tafsiri ya mashine; pale usahihi unapohitajika, asili ya Kiingereza ndiyo yenye mamlaka. Soma asili kwa Kiingereza →
Michezo yote miwili ni mafumbo ya namba zinazoteleza. Katika 2048 unasukuma gridi ya 4×4 yenye visanduku kumi na sita kuelekea mojawapo ya pande nne; vigae vinavyolingana hugongana na kujizidisha mara mbili, vikipanda ngazi ya vipeo vya mbili. Katika 3927 unasukuma mchemraba wa 3×3×3 wenye visanduku ishirini na saba kuelekea mojawapo ya pande sita; vitalu vitatu vinavyolingana hugongana na kujizidisha mara tatu, vikipanda ngazi ya vipeo vya tatu, 3, 9, 27, tarakimu zenyewe za jina la mchezo. 1 Kuuliza ni upi mgumu zaidi kwa kweli ni kuuliza ni mchezo upi unaoficha bahari kubwa zaidi ya nafasi zinazowezekana. Basi tujaribu kupima maji hayo.
Ukubwa ghafi wa ubao hukua kama (alama kwa kila kisanduku)cells (cells = visanduku).Idadi ya visanduku ndiyo iliyo kwenye kipeo, na hapo ndipo nguvu yote ilipo. 2048 hutoa visanduku kumi na sita; 3927 hutoa ishirini na saba. Ukiacha alfabeti ya kila kisanduku bila kubadilika, mchemraba tayari ni mkubwa zaidi kwa kigezo cha takriban a27−16 = a11; kwa alfabeti ya alama kumi, hilo pekee ni hali mara bilioni mia moja zaidi kabla hatujazingatia kitu kingine chochote. Kinachoendesha tofauti hii hasa ni mwelekeo wa ziada, si hesabu za msingi wa 3.
Kila kisanduku ama kiko tupu ama kina thamani moja ya kigae. Kwa 2048 ikiwa na kikomo cha kigae cha 256, kisanduku hutamka mojawapo ya alama tisa: tupu, pamoja na {2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256}. Kikomo cha juu kilichochapishwa, kilichojengwa kutoka kwa alfabeti hii hasa, kinaukadiria ubao wa 4×4 kuwa na takriban nafasi 5.63 × 1014, na waandishi wanakiri waziwazi kwamba kikomo hiki kinajumuisha mbao haramu ambazo haziwezi kamwe kutokea kwa kweli. 2 Ipe 3927 kina kinacholingana, tupu pamoja na {3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187}, yaani alama nane, na kikomo chake ghafi ni 827 ≈ 2.4 × 1024. Msingi wa 3 unaipa 3927 alama chache kwa kila kisanduku kuliko msingi wa 2 ungeipa; visanduku kumi na moja vya ziada vinairudishia anga zima.
Ongeza kidogo kina cha ngazi za thamani, na kikomo cha 3927 kinakipita cha 2048 kwa kati ya mara bilioni moja na mara bilioni mia moja. Mchemraba unashinda kwenye kipeo.
Hakuna aliyewahi kuorodhesha hali zote zinazofikika za 2048 ya ukubwa kamili, sembuse 3927. Lakini watafiti wameshatatua kikamilifu mbao ndogo za 2048, na takwimu hizo kamili ndizo nanga ya makadirio yetu. Ubao wa 3×3 wa 2048 una hali 48,713,519 zinazofikika; uupanue hadi 4×3 na idadi inaruka kupita trilioni moja, hali 1,152,817,492,752, zikiwemo nafasi 739,648,886,170 tofauti za baada ya hatua. 3 Kila kisanduku kinachoongezwa huzidisha ulimwengu. Endeleza mkunjo huo hadi visanduku 27 na hakuna jedwali la kweli linaloweza kuchapisha namba moja.
| Sifa | 2048 | 3927 |
|---|---|---|
| Ubao | Bapa 4×4 | Mchemraba 3×3×3 |
| Visanduku | 16 | 27 |
| Msingi wa namba | 2 | 3 |
| Kanuni ya kuunganisha | 2 zinazofanana → mara mbili | 3 zinazofanana → mara tatu |
| Pande za kusukuma | 4 | 6 |
| Alama / kisanduku (kina kinacholingana) | 9 | 8 |
| Kikomo ghafi (pamoja na haramu) | ~1.9 × 10¹⁵ | ~2.4 × 10²⁴ |
| Kikomo cha juu kilichoboreshwa (chenye chanzo) | 5.63 × 10¹⁴ | hakuna kilichochapishwa |
| Hesabu kamili, ubao mdogo wa 4×3 | 1.15 × 10¹² | , |
Kila namba kubwa hapa ni kikomo cha juu au makadirio ya kiwango cha ukubwa, kamwe si sensa. Vikomo hivi vinahesabu mbao ambazo mchezo halali hauwezi kamwe kuzifikia, kwa mfano ubao wenye kigae kimoja tu cha pekee (michezo yote miwili huanza na vigae viwili, na huongeza kigae kipya baada ya kila hatua, hivyo hakuna ubao unaowahi kubaki na kigae kimoja tu), au thamani ambazo hakuna mfuatano wa kuunganisha unaoweza kuzitoa. Takwimu za 2048 zimetoka kwenye kazi iliyopitiwa na wataalamu; takwimu za 3927 ni vikomo vyangu mwenyewe vya kukadiria haraka, vilivyokokotolewa kwa njia ile ile, na vinapaswa kusomwa kama “si kubwa kuliko hii, pengine chini sana.” Kanuni za michezo yote miwili zimepimwa kutoka kwenye nyaraka za usanifu wa mchezo, hazikudhaniwa tu.
Ukubwa wa nafasi ya hali ni ramani; kigezo cha matawi ni kasi unayoitembea. Kila zamu mchezaji huchagua upande, hadi vinne katika 2048, hadi sita katika 3927, hivyo mchemraba hutoa chaguo halisi zaidi kwa asilimia hamsini kwa kila hatua. Kisha bahati inaingilia: mchezo hudondosha kigae kipya katika kisanduku tupu cha nasibu. 2048 huzalisha 2 au 4, takriban matokeo mawili kwa kila kisanduku kilicho wazi, katika visanduku tupu hadi kumi na tano; 3927 daima huzalisha 3 moja tu, lakini katika visanduku tupu hadi ishirini na sita. 1 Zidisha uamuzi kwa bahati na mti wa mchezo wa 3927 unatanuka zaidi katika kila ngazi, na, kwa sababu uunganishaji wa vitatu ni nadra kuliko uunganishaji wa viwili, michezo yake huelekea kudumu muda mrefu zaidi, na kuufanya mti uwe na kina zaidi pamoja na upana zaidi.
“Ugumu” kwa binadamu ni suala la hisia, na 2048 si mchezo mwepesi: kuamua kama nafasi yoyote ile inaweza kufikia kigae lengwa kumethibitishwa kuwa NP-hard kwenye ubao wa jumla. 4 Lakini kama kitu cha kikombinatoria, 3927 ni mnyama mkubwa zaidi kwa tofauti pana na ya kweli: visanduku zaidi kwenye kipeo, pande zaidi katika matawi, michezo mirefu zaidi katika kina. Hesabu za msingi wa 3 zinazoupa jina lake karibu ni kivuruga fikira tu. Ugumu haukuwahi kuwa katika tatu-tatu. Ulikuwa katika mwelekeo wa tatu.
Method: per-cell alphabet counts and the ceilings 916 and 827 are elementary combinatorics on matched value-ladder depths; the 2048 refined bound and exact sub-board counts are quoted from the cited papers. All 3927 figures are the author's estimates computed by the same recipe and are upper bounds, not enumerations. Where the two games' possibility spaces are compared, ratios are stated as ranges to reflect that uncertainty.